А что "тем не менее"? "Private boarding school" = "частная школа-интернат". Public school в Англии - это именно интернат (частный). Текст по ссылке написан, наверное, не только для британцев, поэтому употребление в нем словосочетания public school создало бы "не пойми что" (для мировой, так сказать, общественности). Никакого противоречия нет, просто написано предельно ясно.

Upd.: Кстати, "школа-интернат" следует писать без пробелов, а то я сам "не пойми что".